Matematica finanziaria di base

Prima cosa: come calcolare il rendimento di un asset. Immaginiamo di pagare una bicicletta 100 € e dopo un certo periodo di tempo la vendiamo a 200 €.

Il guadagno è quindi: 200 − 100 = 100 €

Che differenza c'è se invece compriamo uno Space Shuttle a 99.999.800 € e lo rivendiamo a 99.999.900 €?

Il guadagno è sempre: 99.999.900 − 99.999.800 = 100 €

La differenza tra questi due "investimenti" è la seguente: nel primo caso abbiamo investito 100 € e ne abbiamo guadagnati altrettanti, nel secondo caso per guadagnare 100 € abbiamo dovuto spendere 99.999.800 €, quindi l'investimento è stato meno "conveniente", nel senso che nessuno poteva garantirci, in entrambi i casi, che saremmo riusciti a rivendere il bene acquistato, ma nel primo caso, se non avessimo venduto avremmo "perso" solo 100 €, nel secondo caso ne avremmo persi molti di più, ma ci saremmo comunque potuti fare un giro in bici o in Space Shuttle! Inoltre, se ci fosse la possibilità di fare l'operazione più di una volta (non per tutti gli investimenti è possibile), con il patrimonio utilizzato per lo Space Shuttle avremmo potuto acquistare 999.998 biciclette con un guadagno effettivo di 99.999.800 euro!

Introduciamo quindi il concetto di rendimento.

Il rendimento

Definizione: il rendimento (guadagno percentuale) è il rapporto tra quanto è stato guadagnato e l'investimento iniziale, ovviamente definito solo se l'investimento iniziale è diverso da zero.

Immaginiamo quindi di investire una cifra C (investimento iniziale o capitale iniziale) e di vendere il prodotto così acquistato dopo un certo periodo di tempo per un guadagno lordo di V (vendita), con guadagno G = V − C. Se rapportiamo quanto guadagnato con quanto investito otteniamo:

$$i = \frac{G}{C} = \frac{V - C}{C} = \frac{V}{C} - \frac{C}{C} = \frac{V}{C} - 1$$

Il rendimento r si calcola quindi con la formula:

$$r = \frac{V}{C} - 1$$

dove:

• V è il guadagno lordo dalla vendita dell'asset;
• C è l'investimento iniziale;
• Togliamo 1 se vogliamo vedere il guadagno percentuale al netto dell'investimento iniziale.

Riprendiamo i casi precedenti della bicicletta e dello Space Shuttle.

Nel primo caso abbiamo:

$$r = \frac{200}{100} - 1 = 2 - 1 = 1 = 100\%$$

Nel secondo caso abbiamo:

$$r = \frac{99.999.900}{99.999.800} - 1 = 1{,}000001 - 1 = 0{,}000001 = 0{,}0001\%$$

Finora però abbiamo fatto i conti senza un parametro fondamentale in finanza, cioè il tempo.

Immaginiamo che l'investimento avvenga il giorno 1° gennaio 2025 e venga venduto il bene esattamente un anno dopo in entrambi i casi citati, cioè il giorno 1° gennaio 2026.

Quindi il 1° gennaio 2026 avremo guadagnato 100 €, nel primo caso con un alto rendimento, nel secondo caso con un rendimento ridicolo.

Cosa succederebbe se potessimo ora ripetere l'investimento con una buona probabilità di poter ottenere lo stesso rendimento?

In questo caso l'incognita è il guadagno lordo della vendita V, che nel caso in cui l'investimento possa essere ripetuto nel tempo chiameremo montante M che possiamo calcolare invertendo la formula:

$$M = C \cdot (1 + r)$$

Potendo ripetere l'investimento così fatto per gli anni a venire, ogni volta reinvestendo quanto venduto avremmo (con rendimento del 100% = 1):

• 01/01/2025 – investimento: C = −100 €
• 01/01/2026 – vendita: M = 100 ⋅ (1 + 1) = 200 €
• 01/01/2026 – investimento: C = −200 € = −100 ⋅ (1 + 1)
• 01/01/2027 – vendita: M = 200 ⋅ (1 + 1) = 100 ⋅ (1 + 1) ⋅ (1 + 1) = 100 ⋅ (1 + 1)² = 400 €
• 01/01/2027 – investimento: C = −400 € = −100 ⋅ (1 + 1)²
• 01/01/2028 – vendita: M = 400 ⋅ (1 + 1) = 100 ⋅ (1 + 1)² ⋅ (1 + 1) = 100 ⋅ (1 + 1)³ = 800 €

Quindi generalizzando la formula si ha:

$$M = C(1 + r)^n$$

che è chiamata formula dell'interesse composto.

Se volessimo calcolare il rendimento triennale (il 100% era annuo), esso non sarà ovviamente pari al 300%, ma:

$$r = \frac{800}{100} - 1 = 700\%$$

Nel caso invece dello Space Shuttle avrei, con rendimento pari allo 0,0001%, dopo 3 anni con capitale investito pari a 99.999.800 €:

$$M = 99.999.800 \cdot (1 + 0{,}000001)^3 = 100.000.100{,}0003 \text{ EUR}$$

Cioè, un rendimento triennale pari a:

$$i = \frac{100.000.100{,}0003}{99.999.800} - 1 = 0{,}000300009\%$$

Vediamo come, per rendimenti molto bassi, sostanzialmente non cambia quasi nulla nell'usare la formula dell'interesse composto o semplicemente moltiplicare il guadagno per il numero di anni. Infatti, G = M − C, in questo caso, è circa 300 euro (300,0003 se calcolato con l'interesse composto).

Confronto tra investimenti con tempi diversi

Finora abbiamo confrontato rendimenti e montanti esattamente sullo stesso periodo temporale di durata annuale. Cosa succede quando spostiamo la durata dell'investimento?

Supponiamo di poter investire su due asset, uno che ci garantisce il 20% di rendimento dopo due anni e uno che ci garantisce il 10% di rendimento dopo 1 anno. Quale ci fa guadagnare di più? In termini assoluti il secondo, ma in termini percentuali? E, soprattutto, nel primo avremmo i soldi un anno prima, che in finanza non è un fattore trascurabile, vedremo perché.

Ricapitolando:

• il primo garantisce che dopo due anni, se investo 100, avrò 120;
• il secondo garantisce il 10% dopo un anno, quindi da 100 a 110.

Ma se noi potessimo ripetere il secondo investimento per il secondo anno, potremmo investire 110 al 10% e otterremmo, secondo la formula del rendimento composto:

$$M = 100 \cdot (1 + 0{,}1)^2 = 121$$

Quindi, a patto di poter ripetere il secondo investimento dopo un anno e supponendo che i soldi non ci servano dopo un anno ma possiamo reinvestirli allo stesso rendimento (interesse composto), sarebbe più conveniente il secondo investimento.

Di nuovo, in questo caso abbiamo confrontato un anno con due anni. Se avessimo un investimento di 13 mesi e uno di 17 anni? Come possiamo confrontarli? La risposta è: annualizzando i rendimenti.

Annualizzazione dei rendimenti

Immaginiamo di avere due investimenti che ci garantiscono lo stesso montante M partendo dallo stesso capitale iniziale C, il primo dei due investimenti ha durata pari ad un anno, il secondo ha una durata generica che chiameremo n (numero di anni, che può anche essere un numero non intero). Da qui nasce la formula per annualizzare un rendimento.

$$M = C(1 + r_1)^n = C(1 + r_2)^1$$

Dove M è il montante (uguale per i due periodi) e C è il capitale iniziale (anch'esso uguale). Annualizzare il rendimento r₂, riferito al termine del periodo del numero di anni n, significa applicare l'uguaglianza. Essendo C uguale per entrambi i periodi temporali, il termine si elide e rimangono solo le espressioni dei rendimenti, da cui, con semplici passaggi si ottiene:

$$r_1 = (1 + r_2)^{1/n} - 1$$

che è la formula per annualizzare un tasso di interesse riferito a un periodo diverso da un anno.

Esempio 1: conviene di più investire per 17 mesi al 2% di interesse o per 31 mesi al 3,5% di interesse?

Annualizziamo entrambi i tassi:

17 mesi sono circa 1.58 anni, mentre 31 mesi sono circa 2.58 anni.

$$i_1 = (1 + 0{,}02)^{1/1{,}58} - 1 = 0{,}0126 = 1{,}26\%$$ $$i_2 = (1 + 0{,}035)^{1/2{,}58} - 1 = 0{,}0134 = 1{,}34\%$$

Quindi conviene di più il secondo investimento.

Esempio 2: dato un tasso annuo del 3,5%, investibile massimo per un periodo di 270 giorni, quanto sarà l'interesse su 270 giorni?

Utilizziamo sempre l'equazione (5), ma invertendola. Concettualmente stiamo dicendo: che tasso dovremmo avere su 270 giorni, per ottenere lo stesso montante e investendo lo stesso capitale iniziale, se come informazione abbiamo un tasso di interesse annuo pari al 3,5%?

La formula è quindi:

$$i_{270gg} = (1 + i_{1anno})^{270/365{,}24} - 1 = (1 + 0{,}035)^{270/365{,}24} - 1 = 2{,}58\%$$

Gestire flussi di denaro

Se abbiamo dei flussi di denaro è un po' più difficile che gestire un singolo investimento con un tasso annuo o tasso a fine del periodo di investimento. Ad esempio, nelle obbligazioni che pagano cedole semestrali o azioni che distribuiscono dividendi annuali. Per fare questo è necessario imparare a gestire un po' di flussi di cassa.

Tutte le uscite si segnano col segno negativo, le entrate col segno positivo. Immaginiamo di acquistare un'obbligazione che paga una cedola semestrale dell'1,5% (ha quindi un rendimento annuo del 3%). Questa obbligazione la paghiamo 100 € oggi e la durata della stessa è di 4 anni, quanto sarà il rendimento totale annualizzato, considerando la presenza delle cedole?

Anzitutto scriviamo il flusso di cassa:

Se calcolassimo il rendimento semplicemente sommando tutti i guadagni dividendoli per l'investimento iniziale otterremmo:

$$\frac{1{,}5 \cdot 7 + 101{,}5}{100} - 1 = 12\%$$

in quattro anni.

Se andassimo semplicemente ad annualizzare questo interesse avremmo:

$$(1 + 0{,}12)^{1/4} - 1 = 2{,}87\%$$

Quindi ci aspetteremmo un rendimento annuo del 2,87%, Effettivamente la formula dell'annualizzazione del rendimento è corretta, ma le cose non stanno proprio così. Perché?

Il perché risiede nel fatto che il pagamento viene effettuato tramite cedole semestrali e questo ha molteplici effetti positivi in finanza, infatti, avere i soldi "prima" è meglio che averli "dopo", in sostanza è meglio avere un pagamento in cedole semestrali invece che una volta all'anno. Gli effetti positivi sono, in ordine sparso:

• l'inflazione: il denaro "perde valore nel tempo" e quindi è meglio avere oggi i soldi invece che domani (gli interessi esistono per questo motivo);
• possiamo spendere i soldi prima (disponibilità economica);
• sicurezza di avere i soldi, infatti prima arrivano, più è probabile che si ricevano;
• i soldi che arrivano prima possiamo reinvestirli ottenendo ulteriore rendimento.

Per calcolare il rendimento annuo vero possiamo utilizzare il Tasso Interno di Rendimento (TIR), il quale ha una formula matematica non risolvibile analiticamente, ma solo numericamente. Se il flusso di cassa è scritto in modo corretto, Excel calcola il TIR in automatico, quindi, se ci viene proposto un investimento e vengono indicati anche i flussi di cassa, è meglio usare la formula del TIR piuttosto che l'equazione del rendimento standard. Quanto appena detto vale sempre sotto l'ipotesi che si possano reinvestire i guadagni delle cedole.